托马斯·贝叶斯（Thomas Bayes）是18世纪的英国数学家，也是一位虔诚的牧师。据说他为了反驳对上帝的质疑而推导出贝叶斯定理。贝叶斯定理是一个由结果倒推原因的概率算法，在贝叶斯提出这个条件概率公式后，很长一段时间，大家并没有觉得它有什么作用，并一直受到主流统计学派的排斥。直到计算机诞生后，人们发现，贝叶斯定理可以广泛应用在数据分析、模式识别、统计决策，以及最火的人工智能中，结果，贝叶斯定理是如此有用，以至于不仅应用在计算机上，还广泛应用在经济学、心理学、博弈论等各种领域，可以说，掌握并应用贝叶斯定理，是每个人必备的技能。
为了搞明白贝叶斯定理究竟要解决什么问题，我们先看一个现实生活的例子：
已知有一种疾病，发病率是0.1%。针对这种疾病的测试非常准确：
-
如果有病，则准确率是99%（即有1%未检出阳性）；
-
如果没有病，则误报率是2%（即有2%误报为阳性）。
现在，如果一个人测试显示阳性，请问他患病的概率是多少？
如果我们从大街上随便找一个人，那么他患病的概率就是0.1%，因为这个概率是基于历史统计数据的先验概率。
现在，他做了一次测试，结果为阳性，我们要计算他患病的概率，就是计算条件概率，即：在测试为阳性这一条件下，患病的概率是多少。
从直觉上这个人患病的概率大于0.1%，但也肯定小于99%。究竟是多少，怎么计算，我们先放一放。
为了理解条件概率，我们换一个更简单的例子：掷两次骰子，一共可能出现的结果有6×6=36种：
这就是所谓的样本空间，每个样本的概率均为1/36，这个很好理解。
如果我们定义事件A为：至少有一个骰子是2，那么事件A的样本空间如下图红色部分所示：
事件A一共有11种情况，我们计算事件A的概率P(A)：
我们再定义事件B：两个骰子之和为7，那么事件B的样本空间如下图绿色部分所示：
事件B一共有6种情况，我们计算事件B的概率P(B)：
接下来我们用P(A∩B)表示A和B同时发生的概率，A∩B就是A和B的交集，如下图蓝色部分所示：
显然A∩B只有两种情况，因此，计算P(A∩B)：
接下来我们就可以讨论条件概率了。我们用P(A|B)表示在B发生的条件下，A发生的概率。由于B已经发生，所以，样本空间就是B的样本数量6，而要发生A则只能是A、B同时发生，即A∩B，有两种情况。
因此，计算P(A|B)如下：
同理，我们用P(B|A)表示在A发生的条件下，B发生的概率。此时，分子仍然是A∩B的样本数量，但分母变成A的样本数量：
可见，条件概率P(A|B)和P(B|A)是不同的。
我们再回到A、B同时发生的概率，观察P(A∩B)可以改写为：
同理，P(A∩B)还可以改写为：
因此，根据上述两个等式，我们推导出下面的等式：
P(A∩B)=P(A∣B)×P(B)=P(B∣A)×P(A)
把左边的P(A∩B)去掉，我们得到等式：
P(A∣B)×P(B)=P(B∣A)×P(A)
最后，整理一下等式，我们推导出贝叶斯定理如下：
P(A∣B)=P(B)P(B∣A)×P(A)
这就是著名的贝叶斯定理，它表示，当出现B时，如何计算A的概率。
很多时候，我们把A改写为H，把B改写为E：
P(H∣E)=P(E)P(E∣H)×P(H)
H表示Hypothesis（假设），E表示Evidence（证据），贝叶斯定理的意义就在于，给定一个先验概率P(H)，在出现了证据E的情况下，计算后验概率P(H|E)。
计算
有了贝叶斯定理，我们就可以回到开头的问题：
已知有一种疾病，发病率是0.1%。针对这种疾病的测试非常准确：
-
如果有病，则准确率是99%（即有1%未检出阳性）；
-
如果没有病，则误报率是2%（即有2%误报为阳性）。
现在，如果一个人测试显示阳性，请问他患病的概率是多少？
用H表示患病，E表示测试为阳性，那么，我们要计算在测试为阳性的条件下，一个人患病的概率，就是计算P(H|E)。根据贝叶斯定理，计算如下：
P(H∣E)=P(E)P(E∣H)×P(H)
P(H)表示患病的概率，根据发病率可知，P(H)=0.1%；
P(E|H)表示在患病的情况下，测试为阳性的概率，根据“如果有病，则准确率是99%”可知，P(E|H)=99%；
P(E)表示测试为阳性的概率。这个概率就稍微复杂点，因为它是指对所有人（包含病人和健康人）进行测试，结果阳性的概率。
我们可以把检测人数放大，例如放大到10万人，对10万人进行检测，根据发病率可知：
-
有100人是病人，另外99900是健康人；
-
对100个病人进行测试，有99人显示阳性，另有1人未检出（阴性）；
-
对99900个健康人进行测试，有2%=1998人显示阳性（误报），另有98%=97902人为阴性。
下图显示了检测为阳性的结果的分布：
┌───────┐
│100000 │
└───────┘
│
┌───────┴───────┐
▼ ▼
┌───────┐ ┌───────┐
│ 100 │ │ 99900 │
└───────┘ └───────┘
│ │
┌───┴───┐ ┌───┴───┐
▼ ▼ ▼ ▼
┌─────┐ ┌─────┐ ┌─────┐ ┌─────┐
│ 99 │ │ 1 │ │1998 │ │97902│
└─────┘ └─────┘ └─────┘ └─────┘
│ │
▼ ▼
+ +
所以，对于10万人的样本空间来说，事件E=显示阳性的概率为(99+1998)/100000=2.097%。
带入贝叶斯定理，计算P(H|E)：
P(H∣E)=P(E)P(E∣H)×P(H)=2.097%99%×0.1%=0.020970.99×0.001=0.04721=4.721%
计算结果为患病的概率为4.721%，这个概率远小于99%，且与大多数人的直觉不同，原因在于庞大的健康人群导致的误报数量远多于病人，当出现“检测阳性“的证据时，患病的概率从先验概率0.1%提升到4.721%，还远不足以确诊。
贝叶斯定理的另一种表示
在上述计算中，我们发现计算P(E)是比较困难的，很多时候，甚至无法知道P(E)。此时，我们需要贝叶斯定理的另一种表示形式。
我们用P(H)表示H发生的概率，用H表示H不发生，P(H)表示H不发生的概率。显然P(H)=1-P(H)。
下图红色部分表示H，红色部分以外则表示H：
事件E用绿色表示：
可见，P(E)可以分为两部分，一部分是E和H的交集，另一部分是E和H的交集：
P(E)=P(E∩H)+P(E∩H)
根据上文的公式P(A∩B)=P(A|B)xP(B)，代入可得：
P(E)=P(E∩H)+P(E∩H)=P(E∣H)×P(H)+P(E∣H)×P(H)
把P(E)替换掉，我们得到贝叶斯定理的另一种写法：
P(H∣E)=P(E∣H)×P(H)+P(E∣H)×P(H)P(E∣H)×P(H)
用这个公式来计算，我们就不必计算P(E)了。再次回到开头的问题：
已知有一种疾病，发病率是0.1%。针对这种疾病的测试非常准确：
-
如果有病，则准确率是99%（即有1%未检出阳性）；
-
如果没有病，则误报率是2%（即有2%误报为阳性）。
现在，如果一个人测试显示阳性，请问他患病的概率是多少？
-
P(E|H)表示患病时检测阳性的概率=99%；
-
P(H)表示患病的概率=0.1%；
-
P(E|H)表示没有患病但检测阳性的概率=2%；
-
P(H)表示没有患病的概率=1-P(H)=99.9%。
代入公式，计算：
P(H∣E)=P(E∣H)×P(H)+P(E∣H)×P(H)P(E∣H)×P(H)=99%×0.1%+2%×99.9%99%×0.1%=0.04721=4.721%
检测为阳性这一证据使得患病的概率从0.1%提升到4.721%。假设这个人又做了一次检测，结果仍然是阳性，那么他患病的概率是多少？
我们仍然使用贝叶斯定理计算，只不过现在先验概率P(H)不再是0.1%，而是4.721%，P(E|H)和P(E|H)仍保持不变，计算新的P(H|E)：
P(H∣E)=P(E∣H)×P(H)+P(E∣H)×P(H)P(E∣H)×P(H)=99%×4.721%+2%×(1−4.721%)99%×4.721%=0.71=71%
结果为71%，两次检测为阳性的结果使得先验概率从0.1%提升到4.721%再提升到71%，继续第三次检测如果为阳性则概率将提升至99.18%。
可见，贝叶斯定理的核心思想就是不断根据新的证据，将先验概率调整为后验概率，使之更接近客观事实。
在统计学里，长期以来，有频率学派和贝叶斯学派两大学派，他们互相鄙视对方，就像华山派的气宗与剑宗之争。
这两大学派最根本的观点在于看待世界的方式不同：
-
频率学派认为世界是客观的，必须通过大量独立采样来获得统计均值，不能先给出一个主观的先验概率（假设）；
-
贝叶斯学派则认为概率是一种信念度，可以有非常主观的先验概率，然后，通过一次次采样结果修正先验概率，使之逼近客观事实。
这两大学派哪个才是正确的？其实都对，只是看待世界的角度不同。但是在现实世界中，除了抛硬币、掷骰子、玩老虎机等少数符合理想数学模型的场景，频率学派才能发挥作用。大多数需要我们估算概率的现实场景，只能用贝叶斯理论来指导实践。
举个例子，假设我住在市区，希望赶上飞机的概率不低于90%，那么我应该提前多久出发呢？我必须试验至少100次，看看样本空间，才能获得一个比较准确的统计均值。然而这是不现实的，因为我一年可能就坐几次飞机。我只能拍脑袋先估一个提前30分钟就够了，结果第三次就没赶上，这说明我必须修正我的先验概率，后续改为提前45分钟，才能提升赶上飞机的概率。
我们再以《狼来了》的故事为例，当小孩第一次喊狼来了，村民听到后可以根据先验概率，比如P(小孩是诚实的)=90%判断赶紧去帮忙，结果发现被骗了，于是大家根据“被骗了“这一证据把后验概率P(小孩是诚实的)调整为60%，第二次又被骗了，于是再次把后验概率调整为20%，等到第三次听见小孩求救时，大家根据P(小孩是诚实的)=20%判断，他大概率还是在说谎，于是没有人去帮忙了。
有的同学会问，你说的这些，都是定性分析，没有定量计算啊！
要把贝叶斯定理用到定量计算，必须得借助计算机。
以吴军老师在中文分词领域举的一个例子来说，对于一个句子：南京市长江大桥，可以有两种划分：
-
南京市 / 长江大桥
-
南京市长 / 江大桥
到底哪一种更合理？我们可以计算条件概率：
-
P(长江大桥|南京市) = 出现“南京市“时，出现“长江大桥“的概率；
-
P(江大桥|南京市长) = 出现“南京市长“时，出现“江大桥“的概率。
提前准备好大量的中文语料，计算出任意两个词的条件概率，我们就可以得出哪种分词更合理。
在互联网领域，凡是遇到“当出现xyz时应该推荐什么“这样的条件概率时，也总是能应用贝叶斯理论。
例如，我们在搜索引擎中输入elon这个单词后，搜索框自动给出了联想补全：
怎么实现这个功能？把用户最近搜索的所有可能的单词列出来，然后计算条件概率：
-
P(mask|elon)=0.5
-
P(jerk|elon)=0.1
-
P(university|elon)=0.2
-
…
把它们排个序，选出条件概率最大的几个，就是搜索建议。
诸如反垃圾邮件、电商推荐系统等，都是贝叶斯理论在机器学习中的应用。由于需要大量的计算，贝叶斯理论也只有在计算机时代才能广泛应用。
关于信念
我们再回顾一下贝叶斯定理：
P(H∣E)=P(E)P(E∣H)×P(H)
稍微改一下，变为：
P(H∣E)=P(H)×P(E)P(E∣H)
P(H)是先验概率，P(H|E)是后验概率，P(E|H)/P(E)被称为调整因子，先验概率乘以调整因子就得到后验概率。
我们发现，如果P(H)=0，则P(H|E)=0；如果P(H)=1，则P(E|H)=P(E)，P(H|E)=1。
也就是说，如果先验概率为0%或100%，那么，无论出现任何证据E，都无法改变后验概率P(H|E)。这对我们看待世界的认知有重大指导意义，因为贝叶斯概率的本质是信念，通过一次次事件，我们可能加强某种信念，也可能减弱某种信念，但如果信念保持100%或0%，则可以做到对外界输入完全“免疫“。
举个例子，十年前许多人都认为比特币是庞氏骗局，如果100%坚定地持有这种信念，那么他将无视用户越来越多、价格上涨、交易量扩大、机构入市等诸多证据，至今仍然会坚信比特币是骗局而错过无数次机会。（注：此处示例不构成任何投资建议）
对于新生事物，每个人都可以有非常主观的先验概率，但只要我们不把先验概率定死为0或100%，就有机会改变自己的信念，从而更有可能接近客观事实，这也是贝叶斯定理的精髓：
你相信什么并不重要，重要的是你别完全相信它。